MAT21

INTRODUCTION

Le problème général schématisé dans ces deuxDEFINITIONS

st le suivant :

peut-on donner un sens à une somme d'un nombre infini de termes ?

C'est l'objet de ce chapitre dans lequel on considère des suites dont les termes sont des nombres, réels ou complexes, (suites numériques). Dans les chapitres suivants, nous considèrerons des éléments de certains espaces vectoriels, en particulier des espaces de fonctions. Dans tous les cas, on cherche à quelles conditions on peut donner un sens à l'expression . On associe pour cela à la suite la suite définie par ; on cherche alors des conditions, en général suffisantes, sur la suite pour que la suitesoit convergente. Lorsque la suite est convergente, on peut se demander si les propriétés de commutativité et d'associativité des sommes finies s'étendent à des sommes comportant un nombre infini de termes.

L'étude des séries joue un rôle fondamental en analyse : les séries réelles permettent de construire des nombres comme e qui ne sont ni rationnels ni même algébriques (un nombre algébrique est un nombre qui est racine d'une équation algébrique , où est un polynôme à coefficients entiers) et d'en calculer des valeurs approchées. Les séries de fonctions conduisent à définir de nouvelles fonctions. Les séries entières et les séries de Fourier, en particulier, sont à la base d'une partie importante de l'analyse : l'analyse harmonique.

DEFINITIONS

Série convergente, série divergente.

Soit une suite de nombres réels ou complexes, et, pour tout , soit la somme des premiers termes de cette suite.

Si la suite est convergente, on dit que la série de terme général (ou série ) est convergente. La limite, notée , de la suiteest la somme de la série . On écrit alors : .

Si la suite est divergente, on dit que la série de terme général (ou série ) est divergente.

Somme partielle d'ordre n.

Le nombre est appelé somme partielle d'ordre de la série .

Remarque

1. D'un point de vue purement logique, la série de terme général s'identifie complétement avec la suite et le mot série ne désigne pas une notion réellement nouvelle. La théorie des séries pourrait se ramener à celle des suites, mais du point de vue pratique, il est plus commode d'étudier la convergence de la série à partir de la donnée de  . C'est pour une grande part l'objet de ce chapitre.

   Réciproquement, si une suite est donnée, on peut lui associer la série de terme général

    et , .

   On a alors : , .

2. Pour une série à termes réels , trois cas peuvent se présenter

   • la suite a une limite finie,

   • la suite tend vers ou ,

   • la suite n'a pas de limite.

3. Dans le premier cas la série est convergente, dans les deux autres cas la série est divergente.

   Nous avons précisé limite finie. Par définition, la limite, pour les suites comme pour les fonctions, est un nombre réel. Mais, dans les cas des suites et des fonctions qui tendent vers ou , certains parlent de limite infinie, ce qui s'interprète facilement dans le cadre de la droite achevée .

Dans tout le chapitre, quand nous parlerons de limite sans préciser, il s'agira de limite finie.

Règle : A propos des notations

Si on considère une suite définie à partir d'un certain rang , on note alors la sérieou s'il n'y a pas d'ambiguïté. Un cas très fréquent est celui où la suite est définie pour . C'est le cas des séries de Riemann ou séries de terme général .

Lorsqu'une telle série est convergente, on note ou sa somme (le choix de l'une ou l'autre notation étant d'ordre typographique et non mathématique) c'est-à-dire la limite de la suite quand tend vers .

De façon générale, on prendra bien soin de distinguer la série de sa somme ou qui est un nombre réel ou complexe. Ainsi si on considère les suites etdéfinies respectivement par :

les deux séries sont distinctes , mais leurs sommes sont égales : .

Reste d'ordre n.

Si la série est convergente et de somme , le nombre défini par est appelé reste d'ordre de la série .

Ainsi quand la série est convergente, la suite tend vers 0. C'est la rapidité de la convergence de la suite vers 0 qui caractérise la rapidité de convergence de la série.

1. Étude de la série de terme général

   On a, pour tout entier : et . La suite n'a pas de limite et la série de terme général est divergente.

2. Étude de la série de terme général

   On a, pour tout entier .

   Donc la suite tend vers et la série de terme général est divergente.

3. Étude de la série de terme général

   On a défini, dans le cours sur les suites, le nombre comme la limite commune des deux suites adjacentes et définies, pour tout entier par :

    et .

   En fait, on reconnaît dans la suite la suite (pour ) des sommes partielles de la série de terme général . La limite commune des deux suites est donc .

   La série est convergente et a pour somme le nombre .

4. Étude de la série géométrique

   On considère la série (appelée série géométrique de raison ) de terme général

   On a : .

   Dans le cas où , on a : . La suite tend vers et la série diverge.

   Sinon, pour , on a : . La suite est convergente si et seulement si la suite est convergente. On distingue donc les cas et .

   • Si x vérifie , la suite est divergente et la série l'est également.

   • Si x vérifie , la suite est convergente et a pour limite 0. La série géométrique est convergente et a pour somme . Le reste vérifie, pour tout entier , et la convergence de la série est d'autant plus rapide que est petit.

     Pour tout appartenant à l'intervalle , on a :

   • 
     

     Propriétés de linéarité

     La somme d'une série étant définie comme limite d'une suite, les théorèmes concernant les suites convergentes s'appliquent aux séries convergentes. En particulier :

     Théorème

     • Soient et deux suites à termes réels (resp. complexes) telles que les séries et soient convergentes. Alors la sérieest convergente et :

        .

     • Soit une suite à termes réels (resp. complexes) telle que la série soit convergente. Alors, pour tout réel (resp. complexe), la série est convergente et :

        .

       Ainsi, l'ensemble des suites réelles (resp. complexes), telles que la série soit convergente, est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel des suites réelles (resp. complexes) de limite nulle.

   • Définition : Sous-espace vectoriel
     

     Soit un -espace vectoriel, et soit une partie de telle que :

     •  est non vide ;

     •  est stable pour l'addition : , ,;

     •  est stable pour la multiplication par un scalaire :  , ,  .

   • Alors la partie , munie de ces deux lois, a une structure de -espace vectoriel et est appelée sous-espace vectoriel de E.

     On en déduit en particulier la propriété suivante.

     Soit une suite réelle ; on pose, pour tout entier , et . On a :et .

     Donc, d'après le théorème précédent, si les séries et sont convergentes, les séries et sont convergentes.

     On verra ultérieurement que, si la série est convergente, alors les séries et sont convergentes, et donc la série est également convergente.

     Pour les séries à termes complexes on a la proposition :

     Proposition
     

     Une série de terme général appartenant àest convergente si et seulement si les deux séries de terme général respectif Re(  ) et Im(  ) sont convergentes.

     Preuve
     

     La suite est convergente si et seulement si les deux suites et le sont.

     Cette proposition montre que l'étude d'une série à termes complexes se ramène à l'étude de deux séries à termes réels.

     Pour une série à termes réels ou complexes, exprimer que la suite des sommes partielles satisfait à la condition de Cauchy constitue une condition nécessaire et suffisante de convergence.

     Critère de Cauchy pour les séries.

     Soit une suite de nombres réels ou complexes. Pour que la série de terme général soit convergente, il faut et il suffit que, pour tout , il existe un rang tel que les inégalités entraînent

     

     On écrit encore, en langage formalisé,

     

     On peut retrouver la propriété, vue déjà dans le cours sur les suites, que la série harmonique ou série de terme général est divergente.

     On a en effet :

      et

     Cet exemple illustre encore le fait qu'il n'est pas suffisant que le terme général tende vers 0 pour que la série soit convergente.

     Remarque

     Comme pour les suites, le critère de Cauchy est un outil, essentiellement théorique, très important. Sur le plan pratique, ce sont ses diverses conséquences qui sont le plus souvent utilisées.

     our une série à termes réels ou complexes, exprimer que la suite des sommes partielles satisfait à la condition de Cauchy constitue une condition nécessaire et suffisante de convergence.

   • CRITÈRE DE CAUCHY POUR LES SÉRIES.

     Soit une suite de nombres réels ou complexes. Pour que la série de terme général soit convergente, il faut et il suffit que, pour tout , il existe un rang tel que les inégalités entraînent

     

     On écrit encore, en langage formalisé,

     

     On peut retrouver la propriété, vue déjà dans le cours sur les suites, que la série harmonique ou série de terme général est divergente.

     On a en effet :

      et

     Cet exemple illustre encore le fait qu'il n'est pas suffisant que le terme général tende vers 0 pour que la série soit convergente.

     Remarque

     Comme pour les suites, le critère de Cauchy est un outil, essentiellement théorique, très important. Sur le plan pratique, ce sont ses diverses conséquences qui sont le plus souvent utilisées. 

   • CONVERGENCE ABSOLUE

   • La notion de convergence absolue est fondamentale car le théorème suivant est le principal outil pour l'étude des séries. Ce théorème va orienter l'étude des séries vers celle des séries à termes positifs.

   • Définition
     

     Soit  une suite à termes réels (resp. complexes). On dit que la série de terme général  est absolument convergente si la série de terme général  est convergente.

     Théorème
     

     Une série à termes réels (resp. complexes) absolument convergente est convergente.

     Preuve
     

     Soit  un réel strictement positif.

     La série  est convergente. Elle satisfait donc à la condition de Cauchy. Il existe un rang  tel que :

     

     Soient  et  tels que  . On a alors, en appliquant l'inégalité triangulaire :

     

     On a donc montré la propriété suivante :

     

     La série  satisfait donc à la condition de Cauchy : elle est convergente.

     La preuve ci-dessus utilise le critère de Cauchy, en voici une qui est la conséquence du théorème de comparaison

     Preuve
     

     Il s'agit de montrer que toute série  telle que la série  est convergente, est également convergente. Compte tenu des inégalités  et  , il suffit de montrer cette propriété pour des séries réelles.

     On considère donc une série  à termes réels. On a, pour tout  :  et  . Ainsi, si la série  est convergente, il en est de même des séries  et  , et donc de la série  .

     Remarque
     

     La convergence absolue est une condition suffisante de convergence. Nous verrons des séries qui sont convergentes, sans être absolument convergentes.